1. Continuité en un point

Continuité en un point

Pour montrer q’une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ on peut :

  • utiliser la défintion directe de  la limite  $\large\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$
  • ou bien obtenir l’inégalité $\large\left| f(x)-f({ x }_{0 }) \right| \le k\left| x-{ x }_{ 0 } \right|$
  • ou bien montrer que $\large f$ est continue à droite et à gauche en $\large x_0$
  • ou bien appliquer les opérations sur les fonctions continues

Exemples : Soit la fonction numérique définie par : $\large \left\{\begin{array}{lc}f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x-1}&;\;x\neq1\\f(1)=3\end{array}\right. $

Montrons que $\large f$ est continue en $\large x_0=1$

on a $\large f(1)=3$ . calculons $\large\;\underset{x\rightarrow1\;\;\;\;}{\lim\;f(x)}$

on a : $ \large\underset{x\rightarrow1\;\;\;\;\;\;\;\;}{\lim\;f(x)\;}=\lim_{x\rightarrow1}\;\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{\lim\;}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}=\underset{x\rightarrow1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}{\lim\;\left(x+2\right)=3=f(1)}$ . par conséquent $\large f$ est continue en  $\large x_0=1$.

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