2. Continuité sur un Intervalle  

2.Continuité sur un intervalle

2.1.Continuité sur un intervalle 

une fonction est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en tout point de $I$
une fonction est continue sur un intervalle $\large\left[a\;;\;b\right]$ si elle est continue sur $\large\rbrack a,b\lbrack$ et continue à droite en $\large a$ et à gauche en $\large b$ .
2.2 Continuité des fonctions usuelles : 
les fonctions polynômes , sinus , cosinus  sont continues  sur $\mathbb{R}$ .
toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.
la fonction $ \large x\mapsto\sqrt x$ est continue sur $\mathbb{R}^+$
la fonction $\large\tan$ est continue sur tout intervalle de la forme $\large\rbrack-\dfrac\pi2+k\pi,\dfrac\pi2+k\pi\lbrack $. 

Exemple : Soit la fonction numérique définie par : $$\large\left\{\begin{array}{lc}f(x)=2x^2-x+1 &;\;x\geq1\\f(x)=\dfrac{3x-1}{2-x}&;\;x<1\end{array}\right.$$Montrons que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
♦ Sur l’intervalle $\lbrack1,+\infty\lbrack\\ $  $f$ estcontinue car c’est la restriction d’une fonction polynôme

♦ Sur $\rbrack-\infty,1\lbrack \\$  $f$ est continue,car c’est la restriction d’une fonction rationnelle.

♦Étudions la continuité de $f$ à gauche en $x_0=1$

on a $f(1)=2\times 1^2 -1+1=2$ . calculons \lim\limits_{x\to 1^-}f(x) $$\large \underset{x\rightarrow1^-\;\;\;}{\lim\;f(x)=}\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{3x-1}{2-x}=\dfrac{3\times1-1}{2-1}=2 =f(1)$$ Donc $f$ est continue à gauche en $x_0=1$.

Par suite $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .