3. Image d’un Intervalle par une fonction continue et strictement monotone 

3. Image d'un intervalle

 

Comment Déterminer l’image d’un intervalle $I$ par une fonction continue et strictement  monotone sur $I$ ?.

l’intervalle $I$l’intervalle $f(I)$
 $f$ est strictement croissante sur $I$$f$ est strictement décroissante sur $I$
$\left[a\;;\;b\right]$$\left[f)a)\;;\;f(b)\right]$$\left[f(b)\;;\;f(a)\right]$
$\lbrack a,b\lbrack$$\lbrack f(a)\;;\;\underset{x\rightarrow b^-}{\lim\;f(x)}\lbrack$$\rbrack\underset{x\rightarrow b^-\;\;\;\;\;\;\;\;\;}{\lim\;f(x);\;f(a)\rbrack}$
$\rbrack a\;;\;+\infty\lbrack$$\rbrack\;\underset{x\rightarrow a^+}{\lim\;f(x)\;;\;}\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim\;f(x)}\lbrack$$\rbrack\;\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim\;f(x)\;;\;}\underset{x\rightarrow a^+}{\lim\;f(x)}\lbrack$

 

Exemple : Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=x^2-2x$$  On vérifie facilement que $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle  $\style{font-size:14px}{\lbrack 1   \;\ ;+\infty\lbrack}$   donc \displaystyle f(\lbrack1;+\infty\lbrack)=\lbrack f(1)\;;\;\underset{x\rightarrow+\infty\;\;\;}{\lim\;f(x)}\;\lbrack=\lbrack-1;+\infty\lbrack