4. Théorème des valeurs intermédiaires

4. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème  :

Si $f$ est une fonction continue sur un segment $\left[a\;;\;b\right] $ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un  nombre réel $c$ de  $\left[a\;;\;b\right] $ tel que : $f(c)=k$ .

Si de plus $f$ est strictement monotone sur $\left[a\;;\;b\right] $      alors le nombre  réel $c$ est unique  
Conséquence :

Pour démontrer l’existence d’une solution de l’équation $f(x)=0$où $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ , on cherche deux réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $f(a)\times f(b)<0$ et on applique le théorème des valeurs intermédiaires. 

 Si de plus $f$ est strictement monotone sur $\left[a\;;\;b\right] $ alors la  solution est unique
ExempleMontrons que l’équation $(E); x^3-x^2=5-x$ admet au moins une solution sur l’intervalle $\left[1\;;\;2\right] $ .
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} $ par : $$f(x)=x^3-x^2+x-5$$ $f$ est une fonction polynôme donc continue sur $\mathbb{R} $ et en particulier sur l’intervalle  $\left[1\;;\;2\right] $ .
on a : $f(1)=-4<0$ et $f(2)=1>0$ . donc $f(1)\times f(2)<0$ .par suite d’après le théorème des valeurs intermédiaires , l’équation $f(x)=0$ c-à-d l’équation $(E)$ admet au moins une solution  $\alpha $ sur l’intervalle $\left[1\;;\;2\right] $.

voici un encadrement de la solution $\alpha $ (méthode de dichotomie)  
le centre de l’intervalle $\left[1\;;\;2\right] $ est $\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}2$ et $f(\dfrac{3}2)=-2,375<0 $. 
 donc f\left(\dfrac{3}2\right)\times f(2)<0 et par conséquent $1,5 <\alpha<2 $ .  l’amplitude est $0,5$ .

Remarque : on peut aller plus loin dans ce processus pour affiner l’encadrement.

d’après ce tableur on peut conclure que :

$1,87 <\alpha<1,89 $ .  l’amplitude est $0,02$