5. Fonction réciproque

5. Fonction réciproque

♦ Si $f$ est fonction  continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ ,alors elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l’intervalle $J=f(I)$

♦  \forall x \in J\;,f\left(f^{-1}(x)\right)=x 

  \forall x \in I\;,f^{-1}\left(f(x)\right)=x 

♦ $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$ et varie dans le même sens que $f$ sur $I$ . 

♦ Dans un repère orthonormé les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ .

Exemple : Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle \rbrack1,+\infty\lbrack par : $ f(x)=\dfrac{2x}{x-1}$ 

$1.$ Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l’on déterminera. 
$2.$ Déterminer  $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$ .

Solution:

$f$ est continue sur  \rbrack1,+\infty\lbrack car c’est la restriction d’une fonction rationnelle 

on a : pour tout   x\in \rbrack1,+\infty\lbrack ,$f'(x)=\dfrac{\begin{vmatrix}2&0\\1&-1\end{vmatrix}}{{(x-1)}^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0$

donc $f$ est strictement décroissante sur \rbrack1,+\infty\lbrack

Puisque $f$ est continue et strictement décroissante sur   \rbrack1,+\infty\lbrack ,alors elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l’intervalle J=f\left(\rbrack1\;,\;+\infty\lbrack\right)=\rbrack\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim\;f(x)}\;,\;\underset{x\rightarrow1^+}{\lim\;f(x)}\lbrack=\rbrack2,+\infty\lbrack

♦ Déterminons $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$ .
Soit x\in \rbrack2\;;\;+\infty\lbrack et y\in \rbrack1\;;\;+\infty\lbrack

f^{-1}(x)=y\Leftrightarrow f(y)=x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow\dfrac{2y}{y-1}=x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2y=x\left(y-1\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2y=xy-x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow\left(2-x\right)y=-x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow y=\dfrac x{x-2}
D’où \forall x\in\rbrack2\;;\;+\infty\lbrack\;,\;f^{-1}(x)=\dfrac x{x-2}