Fonction racine n-ième

Foncton racine n-ième

Définition : Soit n\in\mathbb{N}^\ast.
la fonction définie sur $\lbrack0\;;\;+\infty\lbrack$ par : $x\mapsto x^n$ admet une fonction réciproque définie sur $\lbrack0\;;\;+\infty\lbrack$ , appelée fonction racine n-ième et notée $\sqrt[n]{\;}$.

on a : $\forall x,y\in\lbrack0\;;\;+\infty\lbrack$  ,   $y=x^n\Leftrightarrow x=\sqrt[n]y$

Remarque : $\sqrt[1]x=x$   ; $ \sqrt[2]x=\sqrt x$

$\large\sqrt[3]x$ se lit racine cubique de $\large x$

Propriétés :  $\forall x,y\in\lbrack0\;;\;+\infty\lbrack$ .    $\forall n$, p\in\mathbb{N}^\ast

$(1)\;\sqrt[n]{x^n}=\left(\sqrt[n]x\right)^n=x$ $(2)\; \sqrt[n]x=\sqrt[n]y\Leftrightarrow x=y$
$ (3)\;\large\sqrt[n]x<\sqrt[n]y\Leftrightarrow x<y$ $(4)\;\sqrt[np]{x^p}=\sqrt[n]x$
$ (5)\sqrt[p]{\sqrt[n]x}=\sqrt[np]x$ $(6)\;\large\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]x\times\sqrt[n]y$
$(7)\sqrt[\large n]{\dfrac xy}=\dfrac{\sqrt[n]x}{\sqrt[n]y}$  
Puissance rationnelle d’un nombre réel strictement positif $x$
$\sqrt[n]x=x^\dfrac1n$ $\ x^\dfrac pq=\sqrt[q]{x^p}$  où $p\in\mathbb{Z}\;\;;q\in\mathbb{N}^\ast$

 

 Exemple 

: Simplifier le nombre suivant  : $ A=\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt8}\times\sqrt[10]{32}}{\sqrt[3]2\times\sqrt[12]{256}}$

$A=\dfrac{\sqrt[6]{2^3}\times\sqrt[10]{2^5}}{\sqrt[3]2\times\sqrt[12]{4^4}}=\dfrac{\sqrt2\times\sqrt2}{\sqrt[3]2\times\sqrt[3]4}=\dfrac2{\sqrt[3]8}=\dfrac22=1$

$A=\dfrac{\left(2^{\displaystyle\dfrac32}\right)^{\displaystyle\dfrac13}\times\left(2^5\right)^{\displaystyle\dfrac1{10}}}{2^{\displaystyle\dfrac13}\times4^{\displaystyle\dfrac4{12}}}=\dfrac{2^{\displaystyle\dfrac12}\times2^{\displaystyle\dfrac12}}{\left(2\times4\right)^{\displaystyle\dfrac13}}=\dfrac2{8^{\displaystyle\dfrac13}}=\dfrac22=1$